Question

求伯努利方程y'+y/x=2x^(-1/2)y^(1/2)

Answer 1

以下过程供题主参考，不喜勿喷~

追答

追问

这题咋做额

追答

请题主先采纳一下吧~

计算不易啊^_^

dz/dx+z/x＝1是一阶线性非齐次方程，可以用常数变易法

追问

嗯，我不会用

追答

这个…额…我想想怎么跟你解释

追问

我知道这个东东

但是我算的脑阔疼

不想算了

所以我看看过程

看看别人咋算的

滴滴

您的消息请尽快回复

追答

那我就帮题主完成这个心愿：)

追问

e的y次方＝c1x²+c2

这个是答案

咋变的

追答

解得z还需要把它换回去

追问

我去，就知道是你在回答，居然还在匿名。看了字迹百分之百就确定了。。。

追答

因为z是个中间产量

变量

追问

我知道z是中间变量

但是那个标准答案是哪来的呢

怎么来的呢

对对对，就是最后一步怎么变的

追答

抱歉，刚才Wi-Fi 掉了

追问

这步咋变的

追答

z解出来以后，还需要取倒数，再求一次不定积分，再用一次自然指数代换才能出最后那个标准答案

追问

阔以阔以

让我再细细品尝

好好想想

Answer 2

let
u=(y/x)^(1/2)
du/dx = (1/2)(y/x)^(-1/2) . [ (1/x)dy/dx - (1/x^2)y ]
dy/dx =x [2u.du/dx + (1/x) u^2 ]
-----------------
y'+y/x=2x^(-1/2).y^(1/2)

x [2u.du/dx + (1/x) u^2 ] + u^2 = 2u
2xu.du/dx = 2u-2u^2
xdu/dx = 1-u
∫du/(1-u) = ∫dx/x
-ln|1-u| +C' = ln|x|
x/(1-u) = e^C'
x/[1- (y/x)^(1/2) ] =e^C'
1- (y/x)^(1/2) = Cx
(y/x)^(1/2) = 1-Cx
y/x = (1-Cx)^2
y= x(1-Cx)^2