Question

如图，已知：△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，分别过B,C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E,F

（1）：证明：EF与斜边B不相交时，则有EF=BE+CF（如图一）
（2）：如图二，EF与斜边BC相交时，其他条件不变,你能得到什么结论？请给证明
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Answer 1

（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EA+AF=BE+CF．
（2）结论：EF=BE-CF，
理由是：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE-CF．

Answer 2

图一
证明：因为BE垂直EF于E
所以角BEA=90度
因为角BEA+角BAE+角ABE=180度
所以角ABE+角BAE=90度
因为角BAE+角BAC+角CAF=180度
角BAC=90度
所以角BAE+角CAF=90度
所以角ABE=角CAF
因为CF垂直CF于F
所以角CFA=90度
所以角BEA=角CAF=90度
因为AB=AC
所以三角形ABE和三角形CAF全等（AAS)
所以BE=AF
AE=CF
因为EF=AE+AF
所以EF=BE+CF
图二：结论是BE=EF+CE
证明：因为BE垂直AF于E
所以角AFB=90度
因为角AFB+角ABF+角BAF=180度
所以角ABF+角BAF=90度
因为角BAC=角BAF+角CAF=90度
所以角ABF=角CAF
因为CE垂直AB于E
所以角AEC=90度
所以角AFB=角AEC=90度
因为AB=AC
所以三角形ABF和三角形CAE全等（AAS)
所以BE=AE
AF=CF
因为AE=AF+EF
所以BE=EF+CE