Question

已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q,使得│PQ│=│PF2│，那么动点Q的轨迹是

打错了，题目改成│PQ│=│PF1│

Answer 1

设椭圆的长半轴为2a,由已知可得|F1P|+|F2P|=2a,又因为|PQ|=|PF2|，所以|F1P|+|F2P|=|F1P|+|PQ|，所以||F1P|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a.所以Q点的轨迹为以F1为圆心，以椭圆长轴为半径的圆。

追问

抱歉，打错了
题目改成│PQ│=│PF1│

追答

由你所说，设Q点坐标(x,y)，椭圆方程(x²/a²)+(y²/b²)=1
那么F1为(﹣a,0),而P为Q，F1中点。则P为((x+a)/2,(y-0)/2),即((x+a)/2,y/2)。
由于P在椭圆(x²/a²)+(y²/b²)=1上，把P点坐标代入方程得：
[(x+a)/2]²/a²+(y+2)²/b²=1，化简得：
(x+a)²/(2a)²+y²/(2b)²=1。
由此方程可知：Q点轨迹是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，同时此椭圆其由标准方程
延X轴向右平移a个单位。
另：若设题中椭圆长轴在Y轴上，无非把X轴Y轴调换一下即可。
业余水平，希望有用。