Question

通项公式为an=an^2+n的数列，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5,且an＞a(n+1)对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是

Answer 1

an-a(n+1)=[an^2+n]-[a(n+1)^2+n+1]
=-a(2n+1)-1>0(n>=8),
∴a(2n+1)<-1,
a<-1/(2n+1),右边是n的增函数，
∴a<-1/17,
n=1,2,3,4时
an-a(n+1)>0,a>-1/(2n+1),
∴a>-1/9.
综上，-1/9<a<-1/17,为所求。