Question

等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，

等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE ∽ △CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连结EF，△CPF ∽ △PEF吗？请说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠C． 又∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∠BPE+∠BEP=150°． 又∵∠EPF=30°，∠BPE+∠CPF=150°， ∴∠BEP=∠CPF， ∴△BPE ∽ △CFP； （2）证法同（1），△BPE与△CFP还相似； （3）△BPE ∽ △CFP． 理由如下： ∵△BPE ∽ △CFP ∴ PE FP = BP CF ． ∵BP=CP， ∴ PE FP = CP CF ． 又∵∠EPF=∠C=30°， ∴△CPF ∽ △PEF．