Question

已知函数f(x)＝2msin2x?23msinxcosx+n的定义域为[0，π2]，值域为[-5，4]．（Ⅰ）求m、n的值；（Ⅱ）在△

已知函数f(x)＝2msin2x?23msinxcosx+n的定义域为[0，π2]，值域为[-5，4]．（Ⅰ）求m、n的值；（Ⅱ）在△ABC中，∠A＝π3，求函数y＝?nsinB+cos(C?3B2?π3)+m的值域．

Answer 1

（1）∵f(x)＝2msin2x?2

3

msinx?cosx+n=?mcos2x?

3

msin2x+m+n
=?2msin(2x+

π

6

)+m+n，
由x∈[0，

π

2

] 可得，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7

6

π]，sin(2x+

π

6

)∈[?

1

2

，1]，
若m＞0，f（x）∈[-m+n，2m+n]，则

?m+n＝?5 2m+n＝4

，∴m=3，n=-2．
若m＜0，f（x）∈[2m+n，-m+n]，则

?m+n＝4 2m+n＝?5

，m=-3，n=1．
（2）∵C＝

2

3

π?B，∴

C?3B

2

?

π

3

＝?2B．
当m=3，n=-2时，y＝2sinB+cos(

C?3B

2

?

π

3

)+3=2sinB+cos2B+3=-2sin²B+2sinB+4=?2(sinB?

1

2

)2+

9

2

．
∵B∈(0，

2

3

π)，∴sinB∈（0，1]，y∈[4，

9

2

]．
当m=-3，n=1时，y＝?sinB+cos(

C?3B

2

?

π

3

)?3=-sinB+cos2B-3=-2sin²B-sinB-2=?2(sinB+

1

4

)2?

15

8

．
∵B∈(0，

2

3

π)，
∴sinB∈（0，1]，y∈[-5，-2）．