Question

设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为35．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且

设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为35．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．

Answer 1

（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得

16

b2

=1，∴b=4，…（1分）
由e=

c

a

=

3

5

，得1-

16

a2

=

9

25

，∴a=5，…（3分）
∴椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．…（4分）
（2）过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线为y=

4

5

（x-3），…（5分）
设直线与椭圆C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程y=

4

5

（x-3）代入椭圆C方程，整理得x²-3x-8=0，…（7分）
由韦达定理得x₁+x₂=3，
y₁+y₂=

4

5

（x₁-3）+

4

5

（x₂-3）=

4

5

（x₁+x₂）-

24

5

=-

12

5

．…（10分）
由中点坐标公式AB中点横坐标为

3

2

，纵坐标为-

6

5

，
∴所截线段的中点坐标为（

3

2

，-

6

5

）．…（12分）