Question

问一道数学题 高一生问 求助 谢谢

设a、b∈[0，1]，求S=a/(1+b) + b/(1+a) +(1-a)(1-b)的最大值和最小值。

Answer 1

s=1-ab(1-ab)/(1+a)(1+b)

令T=ab(1-ab)/(1+a)(1+b)

T=ab(1-ab)/(1+a+b+ab)<=ab(1-ab)/(1+2√ ab+ab)

令x=√ ab

T<=x²（1-x)(1+x)/(1+x)²

=x²（1-x)/(1+x)

令x²（1-x)/(1+x)=k

则x³-x²+kx+k>=0

设(x-m)²(x-n)=x³-x²+kx+k>=0

则n<=0

2m+n=1

mn+2m+n=0

=> m²+m-1=0(n<=0,m>=0.5)

=>m=(√5-1)/2

n=2-√5

k=(5√5-11)/2

=>T<=(5√5-11)/2

s=1-T>=(13-5√5)/2

当ab=(√5-1)/2时等号成立

s最小值为(13-5√5)/2