Question

已知，点P(x，y)在第一象限，且x+y=12，点A(10，0)在x轴上，设△OPA的面积 为S．小题1:求S关于x的关系式

已知，点P(x，y)在第一象限，且x+y=12，点A(10，0)在x轴上，设△OPA的面积 为S．小题1:求S关于x的关系式，并确定x的取值范围；小题2:当△OPA为直角三角形时，求P点的坐标．

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Answer 1

小题1:由 x+y=12得， .   即P（x，y）在 的函数图象上，且在第一象限. 过点P作PB⊥ 轴，垂足为B. 则 S △OPA = = = . 且0＜ ＜12 ； 小题1:分情况讨论： ①若O为直角顶点，则点P在 轴上，不合题意舍去； ②若A为直角顶点，则PA 轴，所以点P的横坐标为10，代入 中， 得 ，所以点P坐标（10, 2）； ③若P为直角顶点，可得△OPB∽△PAB . ∴  .   ∴PB 2 =" OB·OA" . ∴ . 解得 . ∴点P坐标（8, 4）或（9,3） 所以当△OPA为直角三角形时，点P的坐标为（10, 2）或（8, 4）或（9, 3）.

此题注意第（2）分情况讨论，三个点都有可能是直角顶点，根据三角形相似，找出边和边之间的关系，列出方程求解。