Question

已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f

已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m?f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m?f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）=-x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数k，使函数f（x）=coskx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），
即-（x+1）²+a（x+1）＞2（-²+ax）对一切[3，+∞）恒成立，
（x-1）a＜x²-2x-1，
∵x∈[3，+∞）
∴a＜

x2?2x?1

x?1

=

(x?1)2?2

x?1

=（x-1）?

2

x?1

，
令x-1=t，则t∈[2，+∞），
g（x）=t?

2

t

在[2，+∞）上单调递增，
∴g（t）_min=g（2）=1，
∴a＜1．
（2）∵x∈[0，1）时，f（x）=2^x，
∴当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x-1）=m?2^x-1，
当x∈[n，n+1]时，f（x）=mf（x-1）=m²f（x-2）=…=mⁿf（x-n）=mⁿ?2^x-n，
即x∈[n，n+1）时，f（x）=mⁿ?2^x-n，n∈N^*，
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴m＞0且mⁿ?2^n-n＞m^n-1?2^n-（n-1），即m≥2．
（3）问题（Ⅰ）∵当x∈[0，4]时，y∈[-4，0]，且有f（x+4）=mf（x），
∴当x∈[4n，4n+4]，n∈Z时，
f（x）=mf（x-4）=…=mⁿf（x-4n）=mⁿ[（x-4n）²-4（x-4n）]，
当0＜m≤1时，f（x）∈[-4，0]；
当-1＜m＜0时，f（x）∈[-4，-4m]；
当m=-1时，f（x）∈[-4，4]；
当m＞1时，f（x）∈（-∞，0）；
当m＜-1时，f（x）∈（-∞，+∞）；
综上可知：-1≤m＜0或0＜m≤1．
问题（Ⅱ）：由已知，有f（x+T）=T?f（x）对一切实数x恒成立，
即cosk（x+T）=Tcoskx对一切实数恒成立，
当k=0时，T=1；
当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[-1，1]，
又∵cos（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使cosk（x+T）=Tcoskx恒成立，只有T=±1，
当T=1时，cos（kx-k）=coskx 得到 k=2nπ，n∈且n≠0；
当T=-1时，cos（kx-k）=-coskx 得到-k=2nπ+π，
即k=（2n+1）π，n∈Z；
综上可知：当T=1时，k=2nπ，n∈Z；
当T=-1时，K=（2n+1）π，n∈Z．