Question

正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，点M是对角线A1B上的一动点，则AM+MD1的最小值为??????????/\

Answer 1

解：可设MA1=x,(1)易知,⊿MA1D1为Rt⊿,∠MA1D1=90º.∴由勾股定理知MD1=√(x²+1).(2)在⊿AMA1中，易知AA1=1,MA1=x,∠MA1A=45º.∴由余弦定理知，AM²=x²+1-(√2)x.∴AM=√[x²-(√2)x+1].(3)由上可知，AM+MD1=√(x²+1)+√[x²-(√2)x+1]=√[(x-0)²+(0-1)²]+√{[x-(√2/2)]²+[0+(√2/2)]²}.∴后面一式的几何意义是：x轴上的一点(x,0)到两定点P(0,1),Q(√2/2,-√2/2)的距离的和。由“直线段最短”可知，（|AM|+|MD1|)min=|PQ|=√(2+√2).

Answer 2

此题要把三角形翻折,成同一平面.
把三角形AA1B沿A1B折起。使与A1BD1共面。则∠AA1D＝90＋45＝135°

AM+MD1最短时，就是线段AD1。
所以，（AM+MD1）min＝AD1＝1²+1²-2×1×1×cos135º＝2+√2