Question

求有关周期函数的题目和详细解答

Answer 1

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做 周期函数 ，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 周期函数性质： （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。 （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。 （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。 （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍 （5）若T1、T2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期 （6）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。 解决此类题目的基本方法： 一、定义法 例1求函数y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期. 解:∵＝｜sinx｜＋｜cosx｜ ＝｜－sinx｜＋｜cosx｜ ＝｜cos(x＋π/2)｜＋｜sin(x＋π/2)｜ ＝｜sin(x＋π/2)｜＋｜cos(x＋π/2)｜ ＝f(x+π/2) 对定义域内的每一个x，当x增加到x＋π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2. 二、公式法 这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T＝2π/｜w｜ ，正余切函数T＝π/｜w｜． 例2求函数y＝cotx－tanx的最小正周期. 解：y＝1/tanx－tanx=(1－tanx^2)/tanx=2*(1－tanx^2)/(2tanx)＝2cot2x ∴T＝π/2 三、最小公倍数法 设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数 例3求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期. 解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y＝sin3x＋cos5x的最小正周期T＝2π／1＝2π. 例4求y＝sin3x＋tan2x/5 的最小正周期. 解：∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1＝10π. ∴y＝sin3x＋tan2x/5的最小正周期是10π. 四、图象法 例5求y＝｜sinx｜的最小正周期. 解：由y＝｜sinx｜的图象 可知y＝｜sinx｜的周期T＝π.