Question

如图，以原点O为圆心的半圆交x轴于A、B两点，点B的坐标为（4，0），过B且垂直于x轴的直线上有一点C，过A

如图，以原点O为圆心的半圆交x轴于A、B两点，点B的坐标为（4，0），过B且垂直于x轴的直线上有一点C，过A、C的直线交半圆于D，且BC=833．（1）求出点D的坐标；（2）求过A、B、D的抛物线的解析式；（3）在y轴上是否存在一点P，使得|PA-PD|的值最大？如果存在，请求出此时△ADP的周长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，AB=8，CB=

8 3

3

，
则tan∠CAB=

3

3

，
∴∠CAB=30°，
过D点作DH⊥AB，垂足为H，连OD，
∵OA=OB=OD，
∴∠CAB=∠ODA=30°，
∴OD=OB=4，∠DOB=60°，
∴∠ODH=30°，
∴OH=

1

2

OD=2，由勾股定理得：DH=2

3

，
∴点D的坐标（2，2

3

）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-4）（x+4）
此抛物线过点D，
∴把D的坐标代入得：2

3

=a（2-4）（2+4），
∴a=-

3

6

，
∴所求抛物线的函数关系式为y=-

3

6

（x-4）（x+4）．
即y=-

3

6

x²+

8 3

3

；

（3）在y轴上存在一点P，使得|PA-PD|的值最大，
理由是：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAB=30°，AB=4+4=8，
∴BD=

1

2

AB=4，由勾股定理得：AD=4

3

，
∵点A、点B关于y轴对称，
∴连结BD，并延长BD交y轴于P点，则此时|PA-PD|的值最大，
设直线BD的解析式是y=kx+b，
把B（4，0），D（2，2

3

）代入得：

0=4k+b 2 3 =2k+b

，
解得：k=-

3

，b=4

3

，
∴直线BD解析式为：y=-

3

x+4

3

，
把x=0代入得：y=4

3

，
∴点P（0，4

3

），
∵A、B关于y轴对称，
∴PA=PB，
∵∠ADB=90°，∠DAB=30°，
∴∠PBA=60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AP=PB=AB=8，
∵AD⊥PB，
∴PD=DB，
∴△ADP的周长=△ABD的周长=8+4+4

3

=12+4

3

．