Question

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．且满足（2a-c）cosB=bcosC，sin2A=sin2B+sin2C-λsinBsinC

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．且满足（2a-c）cosB=bcosC，sin2A=sin2B+sin2C-λsinBsinC．（λ∈R）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若λ=3，求角C；（Ⅲ）如果△ABC为钝角三角形，求λ的范围．

Answer 1

（Ⅰ）由（2a-c）cosB=bcosC得，（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

；
（Ⅱ）由sin²A=sin²B+sin²C-λsinBsinC，（λ∈R），得：a²=b²+c²-λbc，
∴cosA=

b2+c2?a2

2bc

=

λ

2

=

3

2

，
∴A=

π

6

，
则C=

π

2

；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，cosA=

b2+c2?a2

2bc

=

λ

2

，
如果角A为钝角，即

π

2

＜A＜

2π

3

，则有-

1

2

＜

λ

2

＜0，
解得：-1＜λ＜0；
如果角C为钝角，0＜A＜

π

6

，则有

3

2

＜

λ

2

＜1，
解得：

3

＜λ＜2，
综上，λ∈（-1，0）∪（

3

，2）．