Question

设复变函数f(z)=1/(z-1)＋1/(z-2)在z=1处的洛朗级数，我不太明白在某一点的洛朗级

设复变函数f(z)=1/(z-1)＋1/(z-2)在z=1处的洛朗级数，我不太明白在某一点的洛朗级数怎么求，求大神帮忙

Answer 1

第一，确定展开点。这一题是z=1，如果没有特殊声明，就默认为z=0.

第二，找出函数的奇点，进而确定收敛圆环域。

在这一题，函数的奇点为z=1，z=2.根据奇点和展开点之间的位置关系，可以将圆环域分为

0<|z-1|<1和|z-1|>1两种情形。

第三，在以上两个圆环域内分别展开成洛朗级数。

1)因为展开点是z=1，所以级数的每一项都是c(n)*(z-1)^n的形式。

2)回到函数f(z)上来，因为第一项是1/(z-1)，已经是幂的形式，因此这一项不用处理。第二项，化为关于(z-1)的函数：

因为是关于z-1的分式函数，所以利用几何级数公式展开。

因为是关于z-1的分式函数，所以利用几何级数公式展开。

因为是关于z-1的分式函数，所以利用几何级数公式展开。

【重要问题重复三遍】

3)分别在两个圆环域凑出相应的展开形式：

①当0<|z-1|<1时，

②当|z-1|>1时，

综上所述，展开的结果为

追问

恩，谢谢你的详细回答，有几个地方不太懂
1，在不同的收敛圆域内的展开有什么讲究，为什么在不同的圆域内展开式不同
2，为什么1/(z-1)不用写成级数的形式
3，为什么｜z-1｜>1的时候，技术是负无穷到负二，还有那个1/z-1上面也乘了2

刚学这些东西，实在不太懂

追答

首先要知道什么是洛朗级数，这一点可以参考洛朗展开定理。幂前面的那个系数cn是由一个积分式子决定的，通过这种方法进行得到洛朗级数的过程叫做直接法。但是对于一些常见的函数类型，我们不需要通过这种繁琐的方法求它的洛朗级数，例如正弦型、余弦型、指数型的函数和有理函数。对于分式函数(属于有理函数)，都可以利用几何级数的展开公式求取它的洛朗级数，既然是利用几何级数的展开公式，就必定要满足它的展开条件，也就是公比的模小于1。因此在不同的圆环域内进行展开的时候，要找出模小于1的公比来，这样才能进行展开，所以同一个函数在不同的圆环域内会有不同的洛朗展开式。

对于后两个问题，要搞清级数跟求和符号∑之间的关系。使用求和符号是因为求和的部分满足同一个通项公式，不满足就单独拿出来，不写进求和符号，这是复数加法的交换律和结合律，对洛朗级数同样是满足的

追问

大概懂了，非常感谢