Question

已知f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）≥0，对于任意的正数a，b，若a＜b

已知f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）≥0，对于任意的正数a，b，若a＜b，①af（b）≤bf（a）②af（b）≥bf（a）③af（a）≤bf（b）④af（a）≥bf（b）其中正确的是______．

Answer 1

构造函数g（x）=xf（x）
∴g′（x）=xf'（x）+f（x）
∵xf'（x）-f（x）≥0，又f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数
∴g′（x）≥2f（x）≥0
∴g（x）在（0，+∞）上为单调增函数
∵a＜b，
∴g（a）＜g（b）
∴af（a）≤bf（b），即③正确，④错误；
构造函数h（x）=

f(x)

x

∴h′（x）=

xf′(x)?f(x)

x2

∵xf'（x）-f（x）≥0，
∴h′（x）≥0
∴h（x）在（0，+∞）上为单调增函数
∵a＜b，
∴h（a）＜h（b）
∴

f(a)

a

≤

f(b)

b

∴af（b）≥bf（a），故②正确，①错误
故答案为：②③