Question

二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b∈R，a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x）的图象关于直线x=-1对称；②f

二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b∈R，a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x）的图象关于直线x=-1对称；②f（1）=1；③f（x）在R上的最小值为0；（1）求函数f（x）的解析式；（2）求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

（1）∵f（x）的对称轴为x=-1， ∴ - b 2a =-1，即b=2a…（1分） 又f（1）=1，即a+b+c=1…（2分） 由条件③知：a＞0，且 4ac- b 2 4a =0 ，即b 2 =4ac…（3分） 由上可求得 a= 1 4 ，b= 1 2 ，c= 1 4 …（4分） ∴ f(x)= 1 4 x 2 + 1 2 x+ 1 4 …（5分） （2）由（1）知： f(x)= 1 4 (x+1 ) 2 ，图象开口向上． 而y=f（x+t）的图象是由y=f（x）平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f（x+t）≤x 即y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大．…（7分） ∴1，m应该是y=f（x+t）与y=x的交点横坐标，…（8分） 即1，m是 1 4 (x+t+1 ) 2 =x 的两根，…（9分） 由1是 1 4 (x+t+1 ) 2 =x 的一个根，得（t+2） 2 =4，解得t=0，或t=-4…（11分） 把t=0代入原方程得x 1 =x 2 =1（这与m＞1矛盾）…（12分） 把t=-4代入原方程得x 2 -10x+9=0，解得x 1 =1，x 2 =9∴ m=9…（13分） 综上知：m的最大值为9．…（14分）