Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两根x1,x2,满足0<x1<x2<1/a,且函数的图像关于直线x=x0对称

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两根x1,x2,满足0<x1<x2<1/a,且函数的图像关于直线x=x0对称,证明：x0<x1/2

Answer 1

f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x
=a[x²-(x1+x2)x+x1x2]+x
=ax²-[a(x1+x2)x-1]x+ax1x2
设m,n是f(x)=0的两个根，因为x=x0是f(x)的对称轴
所以(m+n)/2=x0，m+n=2x0
又由韦达定理得
m+n
=[a(x1+x2)-1]/a
=(x1+x2)-1/a
=x1-(1/a-x2)
因为1/a>x2，所以1/a-x2>0
所以m+n<x1
即2x0<x1，x0<x1/2

Answer 2

f(x)-x=0
ax^2+(b-1)+c=0
x1+x2=(1-b)/a
且函数的图像关于直线x=x0对称
x0=(1-b)/2a
x1+x2=(1-b)/a=2x0
满足0<x1<x2<1/a
2x0>2x1
x0>x1
所以x0<x1/2不成立

Answer 3

题目是不是出错了？二次函数开口向上与y=x的左交点怎么可能落在对称轴的右边呢？