Question

已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x²-4x+4,求f(x)的解析式

令f(x)=ax²+bx+c,则：
f(x+1)+f(x-1)
=a(x+1)²+b(x+1)+c+a(x-1)²+b(x-1)+c
=2ax²+2bx+2a²+2c
∴2a=2,2b=-4,2a²+2c=4
a=1,b=-2,c=1
f(x)=x²-2x+1

为什么可以这么做？

Answer 1

因为f(x)为二次函数，所以可以假设f(x)=ax²+bx+c，所以可以由f(x+1)+f(x-1)=得出abc和x的解析式：2ax²+2bx+2a²+2c，另外由于f(x+1)+f(x-1)=2x²-4x+4，所以
2ax²+2bx+2a²+2c=2x²-4x+4，所以：
2a=2,2b=-4,2a²+2c=4
a=1,b=-2,c=1
f(x)的解析式是f(x)=x²-2x+1
请采纳

追问

为什么可以把f(x)=ax²+bx+c代入f(x+1)和f(x-1)？

追答

由于假设f(x)=ax²+bx+c，所以f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c，可以令x+1=t，由于f(t)=at²+bt+c，所以f(x+1)=f(t)=at²+bt+c=a(x+1)²+b(x+1)+c，这样明白了吧

Answer 2

f(x)=ax²+bx+c是二次函数通式，关键是这个2ax²+2bx+2a²+2c=2x²-4x+4，因为a、b、c是常值，不存在2bx里面有2x²，一次函数对应一次函数，二次函数对应二次函数，常值对应常值，函数类型是独立的，再深入解释，函数无论怎么变换（缩小、放大、左移、右移、上移、下移）函数类型都是本身。这是高中数学中经常用的方法，需记住，出现这样的2ax²+2bx+2a²+2c=2x²-4x+4类型是可以求出a、b、c的，你先归类函数类型，比如：2ax²+4bx²+2bx+ax+2a²+2c=2x²-4x+4，就要这样写（2a+4b）x²+（2b+a）x+2a²+2c=2x²-4x+4；再一一对应。可明白。

Answer 3

这就是根据定义做得。假设一个一元二次函数，将左边代入后，与右边式子比较系数就好了。

追问

为什么可以把f(x)=ax²+bx+c代入f(x+1)和f(x-1)？

追答

其实是将x分别换为x-1和x+1。