Question

高一函数 在线等

设是α,β方程4x^2-mx+m+2=0（x∈R）的两个根，当m为何值时，α^2+β^2有最小值？求出这个最小值（用韦达定理）

Answer 1

由韦达定理，α+β=m/4, α*β=(m+2)/4
且其判别式 m^2-4*4*(m+2)>=0
由此m>=m1=8+4*sqrt(6)或m<=m2=8-4*sqrt(6)
α^2+β^2=(α+β)^2-2*α*β
=m^2/16-(m+2)/2=1/16*(m-4)^2-2
显然，m2<4<m1，且m1-4>4-m2
当 m=m2时，α^2+β^2取到最小值
1/16*(m2-4)^2-2=5-2*sqrt(6)

Answer 2

解：由题意可知
△=16m^2-16(m+2)≥0
m≥2或m≤-1
α+β=m
αβ=（m+2)/4
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=m^2-m/2-1=（m-1/4)^2-17/16 (m≥2或m≤-1)
所以当m=-1时，有最小值，即
（α2+β2）min=（-1)^2-(-1)/2-1=1/2

Answer 3

由题有：
△=m^2-16(m+2)≥0
m≥8+2√6,或m≤8-2√6
α+β=m/4
αβ=(m+2)/4
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=m^2/16-(m+2)/2
=[(m-4)^2-32]/16 （1）
因为m≠4，所以将8-2√6，8+2√6代入（1）中有：
(α^2+β^2)min=-8-16√6