Question

关于导数

已知函数f(x)=x^3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l
1 求使过直线l各相切且以P为切点的直线方程
2 求使直线l和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程

Answer 1

①f'(x)=3x²-3
在P点的切线斜率就是
f'(1)=0
那么P点的切线就是
y=-2
②f'(x)=3x²-3
设切点是(x0,y0)
y0=x0³-3x0 （1）
f'(x0)=3x0²-3=(y0+2)/(x0-1) （2）
把（1）代入（2）
3x0²-3=(x0³-3x0+2)/(x0-1)
3x0²-3=x0²+x0-2 （x0≠1）
2x0²-x0-1=0 （x0≠1）
(2x0+1)(x0-1)=0 （x0≠1）
x0=1（舍）或x0=-1/2
x0=-1/2
则y0=11/8
f'(-1/2)=-9/4
所以该直线方程是
y-11/8=-9(x+1/2)/4
8y-11=-18x-9
18x+8y-2=0
9x+4y-1=0
y=-9x/4+1/4