如何利用幂级数求不定积分?

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泪馨生4911
2023-03-25 · 超过60用户采纳过TA的回答
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不建议采取截止本回答发出时已有的其他回答,下图展示了使用分部积分法计算这个不定积分的正确步骤。

想要计算这个不定积分,我们知道这个f(x)在全区间上都是连续函数,因此f(x)原函数的一定是存在的。

但是,有原函数并不代表它能够用基本初等函数形式来表达。

故我们可以考虑,使用泰勒公式将f(x)进行展开为幂级数,计算其收敛域后再计算它的不定积分。

①使用麦克劳林公式对f(x)=e^(x^2)进行部分展开,可以改写为一个幂级数。

②根据幂级数的收敛域求法:

求①中所得幂级数的收敛半径R:

则①中幂级数的收敛域为I = (-∞,+∞)。

③根据幂级数求和函数的性质:

可以计算问题中的不定积分:

该结果中的幂级数的收敛域与原级数相同,都为I = (-∞,+∞)。

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