Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2 的圆C与直线y=x相切于坐标原点O。椭圆 与圆C的一

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2 的圆C与直线y=x相切于坐标原点O。椭圆 与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。 （1）求圆C的方程； （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）设圆C的圆心为A（p，q），则圆C的方程为（x-p） 2 +（y-q） 2 =8 ∵直线y=x与圆C相切于坐标原点O， ∴O在圆C上，且直线OA垂直于直线y=x 于是有 由于点A（p，q）在第二象限，故p<0 所以圆C的方程为（x+2） 2 +（y-2） 2 =8； （2）∵椭圆 与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10 ∴2a=10 a=5 故椭圆右焦点为F（4，0） 若圆C上存在异于原点的点Q（x 0 ，y 0 ）到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长， 则有|QF|=|OF|，于是 由于Q（x 0 ，y 0 ）在圆上，故有 解①和②得 故圆C上存在满足条件的点 。