Question

抛物线y=mx2-5mx+n与y轴正半轴交于点C，与x轴分别交于点A和点B（1，0），且OC2=OA?OB．（1）求抛物线的解

抛物线y=mx2-5mx+n与y轴正半轴交于点C，与x轴分别交于点A和点B（1，0），且OC2=OA?OB．（1）求抛物线的解析式； （2）点P是y轴上一点，当△PBC和△ABC相似时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）由题意，得抛物线对称轴是直线x＝

5

2

，
∵点A和点B关于直线x＝

5

2

对称，点B（1，0），
∴A（4，0），
∵OC²=OA?OB=4×1=4，
∴OC=2，
∵点C在y轴正半轴上，
∴C（0，2），
∴

m?5m+n＝0 n＝2

，
解得：

m＝ 1 2 n＝2

∴抛物线的解析式为：y＝

1

2

x2?

5

2

x+2；

（2）由题意，可得AB=3，BC＝

5

，AC＝2

5

，
∵OC²=OA?OB，
∴

OB

OC

＝

OC

OA

，
又∠BOC=∠COA，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OCB=∠OAC，
∴△PBC和△ABC相似时，分下列两种情况：
①当

CP

BC

＝

AB

AC

时，得