Question

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF⊥BD于点O，交AD于点E，交BC于点F，且EF=BF．求证：OF=CF

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF⊥BD于点O，交AD于点E，交BC于点F，且EF=BF．求证：OF=CF．

Answer 1

解答：证明：在矩形ABCD中，OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，

∠OAE＝∠OCF OA＝OC ∠AOE＝∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵EF=BF，
∴BF=2OF，
∵EF⊥BD，
∴在Rt△BOF中，∠OBC=30°，∠BFO=90°-30°=60°，
又∵矩形ABCD中，OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴∠COF=∠BFO-∠OCB=60°-30°=30°，
∴∠OCB=∠COF，
∴OF=CF．