Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=can+cn+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求a1，a2，a3，a4；（2）猜想

在数列{an}中，a1=1，an+1=can+cn+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求a1，a2，a3，a4；（2）猜想{an}的通项公式并用数学归纳法证明；（3）若对一切k∈N*有a2k＞azk-1，求c的取值范围．

Answer 1

（1）由a₁=1，
a₂=ca₁+c²?3=3c²+c=（2²-1）c²+c，…（1分）
a₃=ca₂+c³?5=8c³+c³=（3²-1）c³+c²，…（2分）
a₄=ca₃+c⁴?7=15c⁴+c³=（4²-1）c⁴+c³，…（3分）
（2）猜测a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，n∈N^*．…（5分）
下用数学归纳法证明．
当n=1时，等式成立；
假设当n=k时，等式成立，即a_k=（k²-1）c^k+c^k-1，…（6分）
则当n=k+1时，a_k+1=ca_k+c^k′+1（2k+1）=c[（k²-1）c^k+c^k-1]+c^k+1（2k+1）
=（k²+2k）c^k+1+c^k=[（k+1）²-1]c^k+1+c^k，…（7分）
综上，a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1对任何n∈N^*都成立．…（8分）
（3）由a_2k＞a_2k-1，得[（2k）²-1]c^2k+c^2k-1＞[（2k-1）²-1]c^2k-1+c^2k-2，…（9分）
因c^2k-2＞0，所以（4k²-1）c²-（4k²-4k-1）c-1＞0．
解此不等式得：对一切k∈N^*，有c＞c_k或c＜c _k′，
其中ck＝

(4k2?4k?1)+ (4k2?4k?1)2+4(4k2?1)

2(4k2?1)

，ck/＝

(4k2?4k?1)? (4k2?4k?1)2+4(4k2?1)

2(4k2?1)

．…（10分）
易知

lim

k→∞

ck＝1，
又由

(4k2?4k?1)2+4(4k2?1)

＜

(4k2?1)2+4(4k2?1)+4

＝4k2+1，
知ck＜

(4k2?4k?1)+4k2+1

2(4k2?1)

＝

8k2?4k

8k2?2

＜1，…（11分）
因此由c＞c_k对一切k∈N^*成立得c≥1．…（12分）
又ck/＝

?2

(4k2?4k?1)+ (4k2?4k?1)2+4(4k2?1)

＜0，
易知c_k′单调递增，故 c_k′≥c₁′对一切k∈N^*成立，
因此由c＜c_k′对一切k∈N^*成立得c＜c1/＝?

1+ 13

6

．…（13分）
从而c的取值范围为(?∞，?

1+ 13

6

)∪[1，+∞)．…（14分）．