Question

求函数y＝根号x²＋4－根号x²－2x＋5的最大值及相应的x的值

导数我没学过。。最后答案是x＝3，y＝根号2，按照公式为什么做不对？ 解设Z1＝x＋3i，Z2＝1-x＋2i y＝|z1|-|z2|≤|1＋5i|

Answer 1

y＝√(x²+4)-√(x²-2x+5)
＝√(x²+2²)-√[(1-x)²+2²].
构造向量m＝(x,2),n＝(1-x,2).
则m+n＝(1,4).
故依向量模不等式|m|-|n|≤|m+n|得
y＝√(x²+2²)-√[(1-x)²+2²]
≤√(1²+4²)
＝√17.
故所求最大值为：y|max＝√17.

楼主的解答是构造复数，与构造向量法本质一样！
答案“x＝3,y＝√2”肯定是错！理由如下：
当x＝3时，y＝√(3²+4)-√(3²-2×3+5)＝√13-2√2.
y＝√13-2√2与y＝√2不相矛盾吗？

可见，不必太迷信书上的答案！

追问

可是我也问过别人用求导的方法做做出来是x＝3，y＝根号2。。

追答

你说的那个“别人”求导过程肯定是运算出错，如果求出驻点是x＝3, 代回原式能得出y＝√2吗？！

追问

如下：
y`=x/(x^2+9)^(1/2)-1/(x^2-2x+5)^(1/2)
当y=0时，解得x=3或0.6
当x=3时，y取到最大值为根号2
当x=0.6时，y取到最小值

你看看对吗

追答

求导过程错了！
y＝√(x^2+4)-√(x^2-2x+5)
y'＝(1/2)·[1/√(x^2+4)]·(x^2+4)'-(1/2)·[1/√(x^2-2x+5)]·(x^2-2x+5)'
＝x/√(x^2+4)-(x-1)/√(x^2-2x+5).
你试算一下，x＝3时，是否y'＝0。
另外，我不明白，√(x^2+4)怎么变成了√(x^2+9)。
你不是抄错了题目，让我做了那么多无用功吧？
如果是y＝√(x^2+9)-√(x^2-2x+5),则确实是x＝3时，最小值为y＝√2。
此时，解答如下：

y＝√(x^2+9)-√(x^2-2x+5)
＝√(x^2+3^2)-√[(1-x)^2+(-2)^2].
构造向量m＝(x,3),n＝(1-x,-2)
则m+n＝(1,1),
依向量模不等式|m|-|n|≤|m+n|≤|m|+|n|得
y＝√(x^2+9)-√(x^2-2x+5)
≤√(1^2+1^2)
＝√2.
取等时, x:(1-x)＝3:(-2), 即x＝3.
∴x＝3时，所求最小值为: y|min＝√2。

追问

对不起打错了，我再想想

谢谢你了。这样我就放心了

追答

用你的思路，构造复数，则
Z1＝x+3i, Z2＝(1-x)-2i
∴Z1+Z2＝1+i.
∴|Z1|-|Z2|≤|Z1+Z2|
→√(x^2+9)-√(x^2-2x+5)
≤√(1^2+1^2)
＝√2.
∴x:(1-x)＝3:(-2), 即x＝3时，
所求最大值为：y|max＝√2。