Question

一道二次函数题，帮忙解答

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为 米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）、由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.

所以，S△EMN= =0.5（平方米）.

即△EMN的面积为0.5平方米.

（2）、由题意可知 三角形EMN为等腰三角形，其底边MN上的高在EG的连线上（即正三角形GDC和矩形ABCD的AB边的中线上）

且EG=BC+√3/2DG=1+√3

由CDG是等边三角形。固定点E为AB的中点，MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩杆。

可知当M、N点落在GD和GC上时（即X≥1）GMN为正三角形，MN=（EG-X）/（√3/2）=（2√3/3）（1+√3-X）

当M、N点落在AD和BC上时（即X＜1）GMN为等腰三角形，MN=DC=AB=2

所以三角形EMN的面积S表示成关于x的函数为S=1/2MN*X=√3/3X+X-√3/3X²（当X＞1）或S=X（当X≤1）

（3）、三角形EMN是否有最大值

因为0＜X＜1+√3

则1＜X＜1+√3时，S=√3/3X+X-√3/3X²=√3/3（（（1+√3）/2）²-（（1+√3）/2-X）²）

当X=（1+√3）/2时，S最大=√3/3*（1+3+2√3）/4=（3+2√3）/6

0＜X≤1时，S最大=1

综合以上S最大=（3+2√3）/6