Question

二次函数f(x)的最大值为1，且f(0)＝f(2)＝-1. 求f(x)的解析式 讨论函数f(x)在

二次函数f(x)的最大值为1，且f(0)＝f(2)＝-1.
求f(x)的解析式
讨论函数f(x)在区间〔3k，k+1〕(k∈R)上的单调性

Answer 1

解：
(1)
由f(0)=f(2)得二次函数图像对称轴x=(0+2)/2=1
二次函数f(x)的最大值为1，函数二次项系数a<0
设二次函数解析式为：f(x)=a(x-1)²+1
x=0，f(x)=-1代入，得：
a(0-1)²+1=-1
a=-2
f(x)=-2(x-1)²+1=-2x²+4x-1
函数解析式为：f(x)=-2x²+4x-1
(2)
k+1≤3k时，即k≥½时，函数定义域为Φ
k<½时，
f(x)=-2(x-1)²+1，对称轴x=1
二次项系数-2<0，函数图像开口向下，对称轴左边单调递增，对称轴右边单调递减
k+1≤1时，即k≤0时，区间(3k，k+1)位于对称轴左边，f(x)单调递增
3k≥1时，即⅓≤k<½时，区间(3k，k+1)位于对称轴右边，f(x)单调递减
0<k<⅓时，x=1在区间(3k，k+1)上，函数在(3k，1]上单调递增，在[1，k+1)上单调递减