Question

已知矩阵A的k次方=0,证明E+A+A^2/(2!)+...+A^(K-1)/(K-1)!可逆,并求逆

Answer 1

你好！可以直接验证[E+A+A^2/(2!)+...+A^(K-1)/(K-1)!][E-A+A^2/(2!)-...+((-1)^(k-1))A^(K-1)/(K-1)!]=E，所以E+A+A^2/(2!)+...+A^(K-1)/(K-1)!可逆，且逆矩阵是E-A+A^2/(2!)-...+((-1)^(k-1))A^(K-1)/(K-1)!。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

Answer 2

只需证明(e-a)[e+a+a^2+.....+a^(k-1)]=e，由于矩阵和单位矩阵e的乘法有可交换性，即ae=ea=a，因此乘法公式a^k-b^k=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b...+b^(n-1)]对于矩阵a和e成立，所以
e^k-a^k=(e-a)[e^(n-1)+e^(n-2)a...+a^(n-1)]，故e=(e-a)[e+a+a^2+...+a^(k-1)]