Question

设数列{xn}有界，又lim(n趋向于无穷大)yn=0，证明:limxnyn=0

Answer 1

证明：

∵数列{Xn}有界，因此：

∀ Xn∈{Xn}，∃ M>0，当 n>N1时（N1∈N），

∴|Xn|≤ M成立

又∵lim(n→∞) Yn = 0

∴∀ ε' >0，∃ N2∈N，当 n>N2时，必有：

|Yn- 0| < ε'成立

即：|Yn|< ε'

显然：

|Xn|·|Yn| < ε'M 成立，此时n=max{N1,N2}

令ε=ε'M，则：

∀ ε>0

|Xn|·|Yn| = |XnYn| < ε 恒成立

∴必有：

lim(n→∞) XnYn =0

扩展资料：

数列极限的性质

1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。

但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”

3、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ，使得当n>N时有xn≥yn，则 （若条件换为xn>yn ，结论不变）。

4、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

Answer 2

证明：
因为数列{xn}有界,所以存在常数M,对任意n，都有|xn|<M
由于limyn=0(n→∞）所以任取任意小的正数ε，存在N,当n>N时，恒有|yn|<ε/M
（想一想为何用“<ε/M”而不用“<ε”）
所以|xnyn|≤|xn||yn|<M*ε/M=ε
对于上述ε，N
|xnyn|<ε仍成立
根据极限有定义limxnyn=0(n→∞）

Answer 3

证明：
因为数列{xn}有界,所以存在常数M,对任意n,都有|xn|N时,恒有|yn|