Question

求微分方程y^n+y=2x 通解

Answer 1

是否是
y^(n)+y=2x
?
若是则：
当
n=1
时，y'+y=2x
为一阶线性微分方程，
y=e^(-∫dx)[∫2xe^(∫dx)dx+C]
=
e^(-x)[∫2xe^xdx+C]
=
e^(-x)[2(x-1)e^x+C]=2(x-1)+Ce^(-x).
当
n=2
时，y''+y=2x
为二阶常系数非齐次线性微分方程，
特征方程
r^2+1=0,
解得
r=±i，
观察得特解
y=2x，则通解是
y=C1sinx+C2cosx+2x
当
n>2
时，为高阶常系数非齐次线性微分方程
特征方程
r^n+1=0,
解得
r<k>=
e^[i(2k+1)π/n].
k=0,1,2,...,n-1.
特解是
y=2x，则通解是
y=
∑<n=0,n-1>
Cke^(r<k>x)
+2x.

Answer 2

y'
=
2x
+
y
y'
-y
=
2x，代入标准一阶线性微分方程的通解公式：
y
=
{e^[-∫(-1)dx]}
*
{∫(2x)*e^[∫(-1)dx]
dx
+
c}
y
=
e^x
*
[2∫xe^-x
dx
+
c]
y
=
e^x
*
[-2xe^-x
-
2e^-x
+
c]
y
=
ce^x
-
e^x
*
2(x+1)(e^-x)
y
=
ce^x
-
2(x+1)
毕