Question

设f（x）有连续二阶导数，且f（x）/x在x=0处的极限是0，f''（0）【f（x）在0处的二阶导数值】=4，转下面

Answer 1

简单的方法，很容易可以看出f(x)=2x^2满足题意。然后代入就是(1+2x)^(1/x)={(1+2x)^[1/(2x)]}^2=e^2
正式的做法：
原极限=e^ln[（1+f（x）/x）^(1/x)]
ln[（1+f（x）/x）^(1/x)]=ln[1+f(x)/x]/x
在x趋向0时，是0/0.运用罗比达法则
ln[1+f(x)/x]/x=1/[1+f(x)/x]*[f(x)/x]'/1=[f(x)/x]'【注：1/[1+f(x)/x]=1/(1+0)=1】
=[xf'(x)-f(x)]/x^2【还是0/0，在x趋向0时，f(x)/x=0,f(x)是比x高阶的无穷小。分子就是0-0，分母0。再次运用罗比达法则】
=[xf''(x)+f'(x)-f'(x)]/(2x)=xf''(x)/(2x)=f''(x)/2=2
故e^ln[（1+f（x）/x）^(1/x)]=e^2

Answer 2

你的题目中怎么是三阶导数啊，是不是多了一个啊，应该是f''(0)=-2吧
题目已经说了有连续的二阶导数，且原极限显然是0/0型的极限，那么根据洛比塔法则有
lim(f(x)-x)/x^2
=
lim[(f'(x)-1)/2x]
一次求导后，仍然是0/0型极限，继续求导
lim(f(x)-x)/x^2
=
lim[(f'(x)-1)/2x]
=
lim
f''(x)/2
=
f''(0)/2
=
-1

Answer 3

先取自然对数得
lim(x→0)
ln（1+f（x）/x）^(1/x)
=lim(x→0)
ln（1+f（x）/x）/x
(等价无穷小代换)
=lim(x→0)
f（x）/x^2
=lim(x→0)
f'（x）/(2x)
=lim(x→0)
f''（x）/2
=2
故
lim(x→0)
（1+f（x）/x）^(1/x)
=lim(x→0)
e^ln（1+f（x）/x）^(1/x)
=e^2