Question

在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，且1+tanA/tanB=2c/b

在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，且1+tanA/tanB=2c/b.(1)求角A(2)若向量m=(0，-1)，向量n=(cosB，2cos平方C/2),试求向量m+向量n的绝对值最小值?

Answer 1

(1)因为
1+tanA/tanB=1+(sinAcosB)/(cosAsinB)=(sinAcosB+cosAsinB)/(cosAsinB)=sin(A+B)/(cosAsinB)=sinC/(cosAsinB)再由正弦定理:sinC/sinB
=
c/b，所以
1/cosA
=
2，从而
cosA
=
1/2，A
=
60°.
(2)先计算
|m+n|??
的最小值，然后开方即可。利用倍角公式，
m+n
=
(cosB，2cos??(C/2)-1)
=
(cosB，cosC)，所以
|m+n|??=cos??B+cos??C=(1+cos2B)/2+(1+cos2C)/2=1+(cos2B+cos2C)/2
(利用和差化积公式)=1+cos(B+C)cos(B-C)=1-(1/2)cos(B-C)所以若要
|m+n|??
取最小值，只要
cos(B-C)
取最大值，即
B
=
C
=
60°
时取到。此时
|m+n|??
=
1/2，所以
|m+n|
=
根号2/2.