Question

请教一道高一数学不等式的证明

已知a>b，b>0，求证：a/根号b + b/根号a ≥ 根号a + 根号b

Answer 1

a/根号b + 根号b ≥ 2根号a
且 b/根号a + 根号a≥2根号b
2式相加 得出结论

Answer 2

证明：由题设及“柯西不等式”可得：(√a+√b)[(b/√a)+(a/√b)]≥(√a+√b)².===>(a/√b)+(b/√a)≥√a+√b.等号仅当a=b＞0时取得。

Answer 3

两边同时乘以根号ab
得a根号a+b根号b≥a根号b+b根号a
所以a根号a+b根号b-a根号b-b根号a≥0
提公因式得a（根号a-根号b）-b（根号a-根号b）≥0
即（a-b）（根号a-根号b）≥0
即（根号a-根号b）（根号a+根号b）（根号a-根号b）≥0
即（根号a-根号b）的平方*（根号a+根号b）≥0
原题得证

Answer 4

证：
[a/根号b+b/根号a] -[ 根号a + 根号b]
=[a/根号b- 根号b]+[b/根号a-根号a]
=(a-b)/根号b+(b-a)/根号a
=(a-b)[(根号a-根号b)/根号ab]
因为(a-b)与(根号a-根号b)同号（同正或同负），故
[a/根号b+b/根号a] -[ 根号a + 根号b]≥ 0（a=b时取等号）
即：a/根号b + b/根号a ≥ 根号a + 根号b