Question

一道高中数学题 在线等

已知函数f(x)=ln(1+x)-x+(k/2)x^2 (k≥0)
求f(x)的单调区间

Answer 1

函数f(x)=ln(1+x)-x+(k/2)x²，(k≥0).
定义域为(-1，＋∞)，
导函数f′(x)=[1/(x+1)]-1+kx
=[x(kx+k-1)]/(x+1)

①当k=0时，f(x)= ln(1+x)-x，x∈(-1，＋∞)，
f′(x)= -x/(x+1)
∴函数f(x)的增区间为(-1，0)，减区间为[0，＋∞）；

②当0<k<1时， (1-k)/k>0，
f′(x) =[x(kx+k-1)]/(x+1)
=kx[x-(1-k)/k]/(x+1)
∴函数f(x)的增区间为(-1，0)和（(1-k)/k，＋∞），
减区间为[0，(1-k)/k]；

③当k=1时，f′(x)= -x，
∴函数f(x)的增区间为(-1，0)，减区间为[0，＋∞）；

④当k>1时，-1<(1-k)/k=(1/k)-1<0，
f′(x) =[x(kx+k-1)]/(x+1)
=kx[x-(1-k)/k]/(x+1)
∴函数f(x)的增区间为(-1，(1-k)/k)和（0，＋∞），
减区间为[(1-k)/k，0]；

综上，
①当k=0或1时，函数f(x)的增区间为(-1，0)，减区间为[0，＋∞）；
②当0<k<1时，函数f(x)的增区间为(-1，0)和（(1-k)/k，＋∞），
减区间为[0，(1-k)/k]；
③当k>1时，函数f(x)的增区间为(-1，(1-k)/k)和（0，＋∞），
减区间为[(1-k)/k，0].

Answer 2

求导
dy/dx=1/(x+1)-1+kx
dy/dx>0 -->1/(x+1)-1+kx>0 -->(kx^2+kx-x)/(x+1)>0
-->x(kx+k-1)/(x+1)>0 k≥0
所以若0=<k<1 -->x∈[-1,1]递增，x∈[(1-k)/k,+∞)递增
若k=1 -->x^2/(x+1)>0 -->x∈[-1,+∞)递增
若k>1 x=1/k-1>-1 -->x∈[-1,(1-k)/k]递增,x∈[0,+∞)递增