Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于点D．（1）如图1，过点C作 CF⊥AD于F，延长CF交AB于点E．

在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于点D．（1）如图1，过点C作 CF⊥AD于F，延长CF交AB于点E．联结DE．①说明AE=AC的理由；②说明BE=DE的理由；（2）如图2，过点B作直线BM⊥AD交AD延长线于M，交AC延长线于点N．说明CD=CN的理由．

Answer 1

（1）①∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵CF⊥AD，
∴∠AFE=∠AFC=90°，
在△AEF和△ACF中，

∠EAD＝∠CAD AD＝AD ∠AFE＝∠AFC

，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE=AC；
②在△AED和△ACD中，

AE＝AC ∠EAD＝∠CAD AD＝AD

，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED=∠ACB
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE；

（2）连接DN，易证△ABM≌△ANM，
所以AB=AN，
在△ABD和△AND中，

AB＝AN ∠EAD＝∠CAD AD＝AD

，
∴△ABD≌△AND（SAS），
∴∠ABD=∠AND，
∵∠ACB=2∠B，即∠ACB=2∠ABD，
∴∠ACB=2∠AND，
又∵∠ACB=∠CDN+∠AND，
∴∠CDN=∠AND，
∴CD=CN．