Question

已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=1/4×（an+1）²，数列B1，b2-b1，b3-b2，...，bn-bn-1是首相

公比为1/2的地等比数列
1、求证{an}是等差数列
2、若Cn=an×（2-bn），求{cn}的前n项和Tn
3、在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{（Tn+λ）/a（n+2）}为等比数列 若存在求出λ

Answer 1

Sn=(an+1)²/4 ∴4Sn=(an+1)²………………①
n=1时, 4a1=(a1+1)², 解得a1=1

n>1时, 4S(n-1)=(a(n-1)+1)²………………②

①-②得 4an=(an+1)²-(a(n-1)+1)²

∴(an+1)²-4an-(a(n-1)+1)²=(an²-2an+1)-(a(n-1)+1)²=(an-1)²-(a(n-1)+1)²=0

∴(an-1)²-(a(n-1)+1)²=[an-1+a(n-1)+1][an-1-a(n-1)-1]=[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0

∵{an}为正, ∴an=a(n-1)+2

∴{an}是首项为1,公差为2的等差数列

∴an=1+2(n-2)=2n-1