Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B={x|x?2ax?(a2+1)＜0}．（1）a=2时，求A∩B；（2）a＞13时

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B={x|x?2ax?(a2+1)＜0}．（1）a=2时，求A∩B；（2）a＞13时，若A∩B=B，求实a的取值范围．

Answer 1

（1）a=2时，解方程组

(x?2)(x?7)＜0 x?4 x?5 ＜0

得，4＜x＜5，
故A∩B={x|4＜x＜5}
（2）已知A∩B=B得B?A，
a＞

1

3

时，3a+1＞2，A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}={x|2＜x＜3a+1}
讨论2a和a²+1的大小关系：
①若a²+1=2a得a=1，即1＜0不成立，集合B为空集，A={x|2＜x＜4}，满足B?A
②若a²+1＞2a得a≠1，B={x|

x?2a

x?(a2+1)

＜0}={x|2a＜x＜a²+1}，∵B?A
∴

2a＞2 a2+1＜3a+1

解得1＜a＜3
③若a²+1＜2a即（a-1）²＜0，这样的a不存在
综上所述，实数a的取值范围为{a|1≤a＜3}．