Question

设y=y（x）是区间（-π，π）内过（-π2，π2）的光滑曲线，当-π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原

设y=y（x）是区间（-π，π）内过（-π2，π2）的光滑曲线，当-π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0＜x＜π时，函数y（x）满足y″+y+x=0．求y（x）的表达式．

Answer 1

由题意，当-π＜x＜0时，y（x）=?

x

y′

．
分离变量可得，ydy=-xdx，
两边积分可得 y²=-x²+C．
由于y（x）过点（-

π

2

，

π

2

），代入 y²=-x²+C 可得，C=π²，
从而有 x²+y²=π²．
当0＜x＜π 时，y（x）满足y″+y+x=0．
其对应的齐次方程 y″+y=0  的通解为 y=C₁cosx+C₂sinx．
令其特解为 y^*=Ax+b，代入微分方程，则有 0+Ax+b+x=0，解得 A=-1，b=0，
故y^*=-x．
由线性微分方程解的结构可得，y″+y+x=0 的通解为  y=C₁cosx+C₂sinx-x．
由于 y=y（x） 是区间（-π，π）内的光滑曲线，故y（x）在 x=0 处满足
y（0-）=y（0+）=y（0），y′₊（0）=y′_-（0）=y′（0）．
于是由 y（0-）=±π，y（0+）=C₁，可得 C₁=±π．
又当-π＜x＜0 时，有 y（x）=?

x

y′

，可得 y′?(0)＝?

x

y

|(0，y(0))＝0，
当0＜x＜π 时，有 y′=-C₁sinx+C₂cosx-1，可得 y′₊（0）=C₂-1．
由 y′₊（0）=y′_-（0）得 C₂-1=0，即 C₂=1．
故 y=y（x）的表达式为
    y＝

? π2?x2 ，   ?π＜x＜0 ?πcosx+sinx?x， 0≤x＜π

，
或 
    y＝

π2?x2 ，  ?π＜x＜0 πcosx+sinx?x， 0≤x＜π

．
又因为y=y（x）过点（-

π

2

，

π

2

），
所以
    y＝

π2?x2 ，  ?π＜x＜0 πcosx+sinx?x， 0≤x＜π

．

Answer 2

法线过原点斜率k为y/x，k又＝-1dx/dy在带入点 等解出y通式，连续光滑左右连接点导数相等 函数值相等