Question

已知函数.()求的单调区间;()若在时恒成立,求整数的最大值.

已知函数. ()求的单调区间; ()若在时恒成立,求整数的最大值.

Answer 1

()求函数定义域,然后分,两种情况讨论,在定义域内解不等式,即可;()在时恒成立,等价于,分,两种情况讨论,利用()的结论可求得;
解:()的定义域为,;当时,,递增;当时,由,得,由,得;综上,当时,的单调递增区间为;当时,的单调递减区间为,单调递增区间为.(),当时,由()知在上单调递增,,则恒成立,此时;当时,由知,在上递减,在上递增,,则,即,令,,,在上递减,且,,,使,故由,可得;综上,,故要使在时恒成立,最大整数.
该题以函数为载体,考查利用导数研究函数的单调性,最值,考查恒成立问题,考查转化思想,求单调区间注意定义域;解决()问的关键是恰当构造函数,借助导数研究.