Question

请利用无穷小量和极限关系证明 lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x) 谢谢！

Answer 1

首先这个式子的成立有个前提条件，f(x)和g(x)两个函数的极限必须分别存在
不妨设lim f(x)=A,lim g(x)=B
原证明转化为： lim f(x)g(x)=AB
lim f(x) = A, lim g(x) = B
对任意e>0，存在X>0，对任意|x|<X，有|f(x)-A|<e/(2|B|) 且|g(x)-B|<e/(2max{|f(x)|})
所以对任意e>0，存在X>0，对任意|x|<X，
有|f(x)g(x)-AB|=|f(x)g(x)-f(x)B+f(x)B-AB|
=|f(x)[g(x)-B]+B[f(x)-A]|
<=|f(x)[g(x)-B]|+|B[f(x)-A]|
=|f(x)|*|g(x)-B|+|B|*|f(x)-A|
<max{|f(x)|}*[e/(2max{|f(x)|})]+|B|*[e/(2|B|)]
=e/2+e/2
=e
所以lim f(x)g(x)=AB

Answer 2

设limf（x）=A，limg（x）=B
则f（x）=A+α，g（x）=B+β
其中limα=0，limβ=0
limf（x）g（x）=lim（A+α）（B+β）=lim（AB+αB+βA+αβ）=AB
=limf（x）limg（x）