Question

高一数学难题求解！！

(2008，天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x属于[a，2a]，都有y属于[a，a^2]满足方程log(a)x+log(a)y=c,这时，a的取值集合为_____
谢谢

Answer 1

log(a)y属于[1,2],所以log(a)x属于[c-2,c-1],
x属于[a^(c-2),a^(c-1)]，故[a，2a]包含在[a^(c-2),a^(c-1)]中，
所以a^(c-2)<=a,a^(c-1)>=2a,又a＞1，所以c-2<=1,c-1>=log(a)2a，
即c<=3,c>=log(a)2a+1,又c唯一，
所以3=log(a)2a+1,即log(a)2a=2,a^2=2a,又a＞1，所以a=2.
所以a的取值集合为{2}.

Answer 2

扬帆知道快乐解答：因为log(a,y)∈[1,2],所以log(a,x)∈[c-2,c-1],x∈[a^(c-2),a^(c-1)]，故[a，2a]С[a^(c-2),a^(c-1)]，所以a^(c-2)≤a,a^(c-1)≥2a,又a＞1，所以c-2≤1,c-1≥log(a，2a)，即c≤3,c≥log(a,2a)+1,c有唯一值，故3=log(a，2a) 1,即log(a,2a)=2,a^2=2a,又a＞1，所以a=2,a的取值集合为{2}。