Question

ln(1-x)的幂级数展开问题

现知道ln（1+t)=∑（-1）^n (t^(n+1))/(n+1) ,其中-1<t≤1.
我用变量替换法去求ln(1-x), 即令t=-x 则有结果ln(1-x)= -∑x^(n+1)/(n+1) 其中-1≤x<1
但是老师讲的是ln(1-x)=-∑x^n/(n+1) 其中x的范围是一样的 这是第一个问题
第二，如果我用1/(1-x)=(n=0,+∞)∑x^n (|x|<1)的幂级数展开式做积分来求ln(1-x)得到的答案又与我之前用变量替换求出的答案不一样，很奇怪……展开式其实上下两种方法都一样，但是后面这个x的范围就少了x=-1.
现在我的问题是这样的：我的这两种方法是不是可行的？如果可行为什么两种不一样且与老师给的答案不同呢？请指点迷津！多谢！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

/3+2x^5/!/',

f(x)'(1-x)

f(x)"(1+x)³=1/+1/

f(x)"(x-x0)³(1+x)^n+(n-1);+2;(x-x0)²2+f(x0)",f(x)=ln(1+x)-ln(1-x);/'!+……+

大小比较法

1、计算比较法

先通过幂的计算，然后根据结果的大小，来进行比较的。

2、底数比较法

在指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小。

3、指数比较法

在底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小。

4、求差比较法

将两个幂相减，根据其差与0的比较情况，来确定两个幂的大小。

5、求商比较法

将两个幂相除，然后通过商与1的大小关系，比较两个幂的大小。

6、乘方比较法

将两个幂乘方后化为同指数幂，通过进行比较结果，来确定两个幂的大小。

Answer 2

现知道ln（1+t)=∑（-1）^n (t^(n+1))/(n+1) ,其中-1<t≤1.
我用变量替换法去求ln(1-x), 即令t=-x 则有结果ln(1-x)= -∑x^(n+1)/(n+1) 其中-1≤x<1

这个是对的，你说老师讲的那个可能是你记错了，回头再查查

用1/(1-x)=(n=0,+∞)∑x^n (|x|<1)的幂级数展开式做积分结果也是对的

至于为什么多一个有定义的点，这是因为本来没有定义的点（发散的无穷）经过积分也可能收敛（广义积分）