Question

已知函数f（x）=lg（x+1）．（Ⅰ）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围；（Ⅱ）若g（x）是以2为周期

已知函数f（x）=lg（x+1）．（Ⅰ）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围；（Ⅱ）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）=f（x）．求当x∈[1，2]时，函数y=g（x）的解析式．

Answer 1

（Ⅰ） f（1-2x）=lg（2-2x）
由

2-2x＞0 x+1＞0

，得-1＜x＜1．
由0＜f（1-2x）-f（x）＜1得0＜lg

2-2x

x+1

＜1，
∴1＜

2-2x

x+1

＜10  
∵x+1＞0，∴x+1＜2-2x＜10x+10，∴-

2

3

＜x＜

1

3

．
∵-1＜x＜1，∴-

2

3

＜x＜

1

3

；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，因此y=g（x）=g（x-2）=g（2-x）=f（2-x）=lg（3-x）
当x∈[1，2]时，函数y=g（x）的解析式为g（x）=lg（3-x）．