Question

⊙O的直径AB和弦CD相交于点M，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F. (1)求证:CE=DF；(2)若AB=26，CD=24，求AE－BF的值.

Answer 1

作OH⊥CD，H为垂足。则H为CD中点，CH=12，
连结OC，则OC=13，则OH=5 .
∵ AE⊥CD，BF⊥CD，OH⊥CD。
∴ AE∥OH∥BF
∴AO ：OB = EH ：HF
∵ O是AB中点 ∴ H是EF中点，即 EH=FH .
∵Rt△MOH∽Rt△MAB, Rt△MOH∽Rt△MBF 。
∴OH ：AE=MH ：ME , OH ：BF=MH ：MF ∴ AE = OH·ME / MH , BF = OH·MF / MH
∴ AE - BF = OH(ME-MF) / MH= 5(ME-MF) / MH
而 ME-MF = MH + EH - (FH-MH) = 2MH .
∴ AE - BF = OH(ME-MF) / MH= 5(ME-MF) / MH= 5×2= 10 。