Question

数学问题 求f(x)＝∣x-1∣＋∣x-2∣＋∣x-3∣＋…＋∣x－n∣ （n为正整数）的最小值.

Answer 1

运用绝对值不等式
丨A丨+丨B丨≥丨A±B丨
当n为奇数时|x-1|+|x-n|≥丨n-x+x-1丨=n-1
同理|x-2|+|x-(n-1)|≥n-3
|x-3|+|x-(n-2)|≥n-5
……|x-1/2*(n-1)|+|x-1/2*(n+3)|≥2
当x=1/2(n+1)（即1,n的中点）
有|x-1/2(n+1)|取最小值0.
故y(min)=0+2+4+……+(n-3)+(n-1)=(n^2-1)/4,
此时x=(n+1)/2；
当n为偶数.
|x-1|+|x-n|≥n-1
|x-2|+|x-(n-1)|≥n-3
|x-3|+|x-(n-2)|≥n-5
……
|x-1/2*n|+|x-(1/2*n+1)|≥1
故y(min)=1+3+5+……+(n-3)+(n-1)=n^2/4,
此时x属于(n/2,(n+1)/2).