Question

证明数列cos(n)和sin(n)的发散性

求高人用 e^(in)
详细的解答哈。
谢谢！！！

Answer 1

{e^(in) | n=1,2,...} 是复平面单位圆上的序列。因为单位圆是有界闭集，所以必存在收敛子序列 {e^(in_s | s = 1,2,...} ， 设 e^(i n_s) -----> e^(ai), 0<=a < 2pi.
于是
令 m_s = n_s + 1, s = 1,2,.... 则： e^(i m_s) -----> e^(ai + i),
令 l_s = n_s + 2, s = 1,2,.... 则： e^(i l_s) -----> e^(ai + 2i),

因为 e^(ix) = coxx + isinx, x： 实数。
所以：
cos(n_s) -----> cos(a)
cos(m_s) -----> cos(a+1)
cos(l_s) -----> cos(a+1)
显然 cos(a)， cos(a+1) 和 cos(a+2) 不可能全相等，说明 cos(n) 有不同子序列趋于不同的极限，所以 cos(n) 发散。

同理：
sin(n_s) -----> sin(a)
sin(m_s) -----> sin(a+1)
sin(l_s) -----> sin(a+1)
显然 sin(a)，sin(a+1) 和 sin(a+2) 不可能全相等，说明 sin(n) 有不同子序列趋于不同的极限，所以 sin(n) 发散。