Question

高一立体几何

已知正方形ABCD外一点P，PC⊥底面ABCD且AB=2PC=4，E、F分别为AD、AB中点，求点B到平面PEF的距离。

Answer 1

连接BD,AC交于点G，AC交EF于点H，连接PH,过点G作GK⊥PH,垂足为点K.
∵E、F分别为AD、AB中点
∴BD‖EF
∴BD‖平面PEF
∴点B到平面PEF的距离=直线BD到平面PEF的距离
∵由已知易得点H是EF的中点，且有PE=PF(因为RT△PFC≌RT△PEC)
∴PH⊥EF
∵PC⊥底面ABCD, EF∈底面ABCD
∴EF⊥PC
∴EF⊥平面PHC, GK∈平面PHC
∴EF⊥GK 又GK⊥PH
∴GK⊥平面PEF
∴GK就是点B到平面PEF的距离
∵PF=√(16+4+4)=2√6; EF=2√2;
∴PH=√(24-2)=√22; GH=AC/4=√2
∵△HGK∽△HPC
∴GK/PC=GH/HP
∴GK/2=√2/√22====>GK=2√11/11

Answer 2

建系，用法向量简单