Question

24．(13分)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y＝－x2＋bx＋c经过

24．(13分)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)设P(x，y)是(1)所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②求以BC为底边的等腰△BPC的面积．
22：15之前做出来，并且完整，对，我会给积分的，谢谢

Answer 1

第一步由BC两点同时过两函数代入解析式易得B坐标为（3,0）C坐标为（0,3）
解析式为y=-x*2+2x+3
设点P N的坐标分别为（x,-x*2+2x+3) (x,3-x)
依据平面几何两点间距离公式可以列出式子PN=-x*2+2x+3-(3-x)=-(x-3/2)*2+9/4即得最大值和对应的x值
再次依据平面几何两点间距离公式列出表示PB PC 的代数式 然后PB=PC列方程求解有二代回函数解析式检验P点是否会在其上 可得P的横坐标等于（1-根号13）/2
最后用三角形在平面直角坐标系上求面积的常用方法 就是利用铅垂高甚么的可以求出其面积
计算不便打出过程你自己按这个思路算罢可以做的

Answer 2

解：（1）由于直线y=-x+3经过B、C两点，
令y=0得x=3；令x=0，得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线y=-x2+bx+c上，于是得 -9+3b+c=0 c=3 ，
解得b=2，c=3，
∴所求函数关系式为y=-x2+2x+3；
（2）①∵点P（x，y）在抛物线y=-x2+2x+3上，
且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（x，-x2+2x+3），
同理可设点N的坐标为（x，-x+3），
又点P在第一象限，
∴PN=PM-NM，
=（-x2+2x+3）-（-x+3），
=-x2+3x，
=-(x-3 2 )2+9 4 ，
∴当x=3 2 时，
线段PN的长度的最大值为9 4 ．
②解法一：
由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为（a，a），
又点P在抛物线y=-x2+2x+3上，于是有a=-a2+2a+3，
∴a2-a-3=0，
解得a1=1+ 13 2 ，a2=1- 13 2 ，（10分）
∴点P的坐标为：(1+ 13 2 ，1+ 13 2 )或(1- 13 2 ，1- 13 2 )，
若点P的坐标为(1+ 13 2 ，1+ 13 2 )，此时点P在第一象限，
在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=1+ 13 2 ，
OB=OC=3S△BPC=S四边形BOCP-S△BOC=2S△BOP-S△BOC=2×1 2 •BO•PM-1 2 BO•CO，
=2×1 2 ×3×1+ 13 2 -9 2 ，
=3 13 -6 2 ，
若点P的坐标为(1- 13 2 ，1- 13 2 )，此时点P在第三象限，
则S△BPC=S△BOP+S△COP+S△BOC=1 2 ×3×|1- 13 2 |×2+1 2 ×3×3，
=1 2 ×3× 13 -1 2 ×2+9 2 =3 13 -3+9 2 =3 13 +6 2 ，